Quiz: Introduction aux Équations Différentielles Ordinaires
Question 1
Quelle est l’équation différentielle ordinaire d’ordre 1, scalaire, autonome et linéaire homogène ?
- \(x'(t) = 10 x(t) + 2\)
- \(x'(t) = 5 x(t)\)
- \(x'(t) = t-x\)
- \(x''(t) = -x\)
Question 2
Dans l’équation \(x'(t) = a x(t)\), que représente \(t\) ?
- La variable d’intégration
- La variable inconnue
- Un paramètre fixé
Question 3
Pourquoi l’équation \(x'(t) = ax(t)\) est-elle dite autonome ?
- Elle ne dépend pas explicitement du temps \(t\)
- Elle dépend explicitement du temps \(t\)
- Elle fait intervenir un scalaire \(a\) ne dépendant pas du temps
Question 4
Est-ce que l’équation différentielle \(x'(t) = A x(t) + B u(t)\) est autonome ?
Question 5
Pourquoi l’équation \(x'(t) = a x(t)\) est-elle qualifiée de scalaire ?
- Parce qu’elle ne fait intervenir que la dérivée première de \(x(t)\)
- Parce que \(a\) est scalaire
- Parce que \(x(t) \in \mathbb{R}\)
Question 6
Quelle est la condition initiale pour l’équation \(x'(t) = a x(t)\) ?
- \(x(0) = x_0\)
- \(x'(0) = x_0\)
- \(x(t) = x_0\)
Question 7
Qu’est-ce qu’un problème de Cauchy ?
- Un problème qui combine une équation différentielle avec une condition initiale
- Un problème qui combine une équation différentielle avec une condition aux limites
- Un problème qui combine une équation différentielle avec une condition de périodicité
Question 8
Quel théorème est utilisé pour montrer l’équivalence entre la formulation différentielle et la formulation intégrale d’une équation différentielle ?
- Le théorème fondamental de l’analyse
- Le théorème de Rolle
- Le théorème de la moyenne
Question 9
Quelle est la formulation intégrale de l’équation \(x'(t) = a x(t)\) avec la condition initiale \(x(0) = x_0\) ?
- \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} a x(s) \, \mathrm{d}s\)
- \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} x(s) \, \mathrm{d}s\)
- \(x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} a \, \mathrm{d}s\)
Question 10
Quelle est l’ordre de l’équation différentielle \(x''(t) = -x(t)\) ?
Question 11
Pourquoi l’équation \(x''(t) = -x(t)\) est-elle qualifiée de scalaire ?
- Parce qu’elle ne fait intervenir qu’une seule fonction inconnue \(x(t)\)
- Parce qu’elle est linéaire
- Parce qu’elle est autonome
Question 12
Quelle est la forme matricielle du système équivalent à l’équation \(x''(t) = -x(t)\) ?
- \[
\begin{pmatrix}
x'(t) \\
y'(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
\]
- \[
\begin{pmatrix}
x'(t) \\
y'(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
\]
- \[
\begin{pmatrix}
x'(t) \\
y'(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x(t) \\
y(t)
\end{pmatrix}
\]
