Condition initiale

On considère le problème de Cauchy (vectoriel) linéaire

x'(t) = A x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0(\theta)

avec \theta \in \R (ici l=1 pour simplifier), et dont la solution, notée x(\cdot, \theta), est

x(t, \theta) \coloneqq e^{(t-t_0)A}\, x_0(\theta) + \int_{t_0}^{t} e^{(t-s)A}\, b(s) \, ds.

La dérivée partielle par rapport à \theta est simplement

\frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) = e^{(t-t_0)A}\, x'_0(\theta)

où x'(\theta) \in L(\R, \R^n) \cong \R^n. Ainsi nous remarquons que la dérivée partielle est elle-même solution d’un problème de Cauchy linéaire, qui a la particularité supplémentaire d’être homogène. En effet, t \mapsto \frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) est la solution de :

X'(t) = A X(t), \quad X(t_0) = x_0'(\theta).