Problème de Cauchy Linéaire

Définition

Un problème de Cauchy linéaire consiste à résoudre une équation différentielle ordinaire (EDO) linéaire accompagnée d’une condition initiale. Il s’écrit sous la forme :

x'(t) = A(t) x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0

où :

• x\colon I \to \mathbb{R}^n est la fonction inconnue définie sur un intervalle I contenant t_0,
• A(t) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) est une matrice donnée, dépendant du temps t,
• b(t) \in \mathbb{R}^n est un vecteur donné, dépendant du temps t,
• t_0 \in I est l’instant initial,
• x_0 \in \mathbb{R}^n est la condition initiale.

Remarque

Nous considérons ici le cas linéaire, et dans la suite du cours, nous ne traiterons que le cas où A(t) est constant.

Terminologie

Soit l’équation différentielle ordinaire linéaire :

x'(t) = A(t) x(t) + b(t),

où A(t) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) et b(t) \in \mathbb{R}^n. On distingue plusieurs cas :

• Équation linéaire homogène : lorsque b(t) = 0, l’équation devient x'(t) = A(t) x(t).
• Équation linéaire non homogène (ou avec second membre) : lorsque b(t) \neq 0.
• Équation autonome : lorsque A(t) et b(t) sont constants, c’est-à-dire indépendants de t.

Solution

On suppose les fonctions t \mapsto A(t) et t \mapsto b(t) définies et continues sur un intervalle ouvert \mathcal{I} contenant t_0. On appelle solution du problème de Cauchy associé, tout couple (I, \varphi), où I est un intervalle ouvert de \mathcal{I} contenant t_0 et \varphi \colon I \to \mathbb{R}^n est une fonction dérivable sur I, tel que pour tout t \in I, \varphi'(t) = A(t) \varphi(t) + b(t) et \varphi(t_0) = x_0.

Remarque

Il est courant d’utiliser la même notation pour la solution \varphi et l’inconnue x.

Une solution (I,\varphi) est dite maximale si, pour toute autre solution (J,\psi), on a J \subset I et \varphi = \psi sur J. On dit que qu’une solution (I,\varphi) est un prolongement d’une autre solution (J,\psi), si J \subset I et \varphi = \psi sur J. On parle de solution globale si elle est définie sur tout l’intervalle \mathcal{I}.

Remarques

• Toute solution se prolonge en une solution maximale (pas nécessairement unique).
• Tout solution globale est maximale mais pas l’inverse.

Formulation Intégrale

Théorème

Soit un couple (I, \varphi), avec I un intervalle ouvert de \mathcal{I} et \varphi \colon I \to \mathbb{R}^n une fonction dérivable sur I. Alors, le couple (I, \varphi) est solution du problème de Cauchy si et seulement si pour tout t \in I on a :

\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} \left( A(s) \varphi(s) + b(s) \right) \, \mathrm{d}s.

Preuve

Notons f \colon \mathcal{I} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, (t, x) \mapsto f(t, x) \coloneqq A(t) x + b(t).

\Rightarrow Puisque \varphi est dérivable sur I, l’application t \mapsto g(t) \coloneqq f(t, \varphi(t)) est continue sur I, donc intégrable sur tout compact de I. De plus, \varphi est une primitive de g sur I, et d’après le second théorème fondamental de l’analyse, on obtient :

\int_{t_0}^{t} g(s) \, \mathrm{d}s = \varphi(t) - \varphi(t_0),

ce qui entraîne :

\int_{t_0}^{t} f(s, \varphi(s)) \, \mathrm{d}s = \varphi(t) - x_0.

\Leftarrow L’application g est intégrable sur tout compact de I, donc la fonction

G(t) \coloneqq \int_{t_0}^{t} g(s) \, \mathrm{d}s

est bien définie pour tout t \in I. Comme g est continue, G est l’unique primitive de g s’annulant en t_0 (d’après le premier théorème fondamental de l’analyse). Ainsi, si pour tout t \in I :

\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} \left( A(s) \varphi(s) + b(s) \right) \, \mathrm{d}s = x_0 + G(t),

alors on a \varphi(t_0) = x_0 (puisque G(t_0) = 0). En différenciant les deux membres de cette expression, on obtient :

\varphi'(t) = G'(t) = f(t, \varphi(t)),

ce qui achève la démonstration.

Remarque

Cette formulation intégrale est donc équivalente à la formulation différentielle. Il est important de retenir que même cette formulation réprésente une équation à résoudre.

Cas Scalaire

Dans le cas d’une équation linéaire homogène scalaire autonome, où a est une fonction constante, et en considérant le problème de Cauchy avec la condition initiale x(0) = x_0, l’équation est donnée par :

x'(t) = a x(t), \quad x(0) = x_0.

La solution générale de l’équation différentielle est :

x(t) = C e^{a t},

où C est une constante déterminée par la condition initiale. En imposant x(0) = x_0, on trouve :

C = x_0.

Ainsi, la solution du problème de Cauchy est :

x(t) = x_0 e^{a t}.

Commentaire sur le cas vectoriel

Le cas scalaire fait intervenir la fonction exponentielle sur \mathbb{R}. Dans le cas vectoriel, où x(t) \in \mathbb{R}^n, nous aurons besoin de l’exponentielle de matrice, qui est une généralisation de l’exponentielle scalaire.