Introduction
Idée principale
On désire calculer une approximation de la solution, notée x(\cdot), sur l’intervalle [t_0, t_f] du problème de Cauchy
x'(t) = f(t, x(t)), \quad x(t_0) = x_0,
où f \colon \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n est une application suffisamment régulière (au moins \mathscr{C}^1).
On considère une subdivision de l’intervalle [t_0, t_f] de la forme
t_0 < t_1 < \cdots < t_N \coloneqq t_f.
On note h_i \coloneqq t_{i+1} - t_i, pour i \in \llbracket 0, N-1 \rrbracket, les pas de la subdivision et h_{\max} \coloneqq \max_i(h_i) le pas le plus long.
L’idée est de calculer une approximation de la solution en les points de discrétisation, autrement dit on souhaite approcher x(t_i) pour i \in \llbracket 0\,,\, N \rrbracket.
Nous nous intéressons dans ce cours seulement aux méthodes explicites à un pas.
Si on note (x_0, \ldots, x_N) \in (\mathbb{R}^n)^{N+1} une suite finie donnée par une méthode explicite à un pas, alors on souhaite que
x_i \approx x(t_i), \quad \forall\, i \in \llbracket 0\,,\, N \rrbracket.
L’idée principale est donc d’avoir
\begin{aligned} x_0 &\approx x(t_0), \\ x_0 + h\, \Phi(t_0, x_0, h) = x_1 & \approx x(t_1) = x(t_0) + \int_{t_0}^{t_1} f(t, x(t)) \, \mathrm{d}t, \\ & \hspace{0.6em} \vdots \\ x_i + h\, \Phi(t_i, x_i, h) = x_{i+1} & \approx x(t_{i+1}) = x(t_i) + \int_{t_i}^{t_{i+1}} f(t, x(t)) \, \mathrm{d}t, \\ & \hspace{0.6em} \vdots \\ x_{N-1} + h\, \Phi(t_{N-1}, x_{N-1}, h) = x_N & \approx x(t_N) = x(t_{N-1}) + \int_{t_{N-1}}^{t_N} f(t, x(t)) \, \mathrm{d}t. \\ \end{aligned}
Euler
La méthode à un pas explicite la plus simple est ce que l’on appelle la méthode d’Euler qui consiste tout simplement à approcher l’intégrale par le rectangle suivant :
\int_{t_i}^{t_{i+1}} f(t, x(t)) \, \mathrm{d}t \approx h_i\, f(t_i, x(t_i)).
On note g(t) \coloneqq f(t, x(t)), où x(\cdot) est la solution du problème de Cauchy. La méthode d’Euler consiste à approcher l’intégrale de la fonction g par une quadrature d’ordre 1 :
Pour la méthode d’Euler, la fonction \Phi s’écrit :
\Phi_E(t, x, h) \coloneqq h f(t, x),
ainsi on a la définition suivante.
Runge
L’idée évidente pour améliorer la précision numérique est d’approcher cette intégrale par une formule de quadrature ayant un ordre plus élevé. Si on exploite le point milieu, nous obtenons
x(t_{i+1}) \approx x(t_i) + h_i\, f\big(t_i + \frac{h_i\,}{2}, x(t_i + \frac{h_i\,}{2})\big).
Le problème étant que l’on n’a pas accès à la valeur de x(\cdot ) à l’instant t_i + {h_i}/{2}, d’où l’idée d’approcher cette valeur par un pas d’Euler :
x(t_i + \frac{h_i}{2}) \approx x(t_i) + \frac{h_i}{2} f(t_i, x_i).
Nous obtenons ainsi le schéma de Runge.