Consistance

Méthode Consistante

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes à un pas

x_{i+1} = x_i + h_i\, \Phi(t_i, x_i, h_i), \quad h_i = t_{i+1} - t_i,

que l’on peut écrire sous la forme E_i(x_i, x_{i+1}) = 0 avec

E_i(a, b) \coloneqq b - \left( a + h_i\, \Phi(t_i, a, h_i) \right).

On rappelle pour la suite que x(\cdot) est la solution du problème de Cauchy x'(t) = f(t, x(t)), x(t_0) = x_0.

Définition

L’erreur (locale) de consistance e_i est l’erreur locale de troncature

e_i \coloneqq E_i(x(t_i), x(t_{i+1})).

L’erreur locale de consistance est l’erreur obtenue lorque l’on injecte la solution du problème de Cauchy dans la méthode explicite à un pas. Si la méthode était parfaite, il n’y aurait pas d’erreur. Ainsi, cette erreur de consistance donne une idée de la cohérence de la méthode employée. Elle permet de quantifier à quel point le problème discret (la recherche des x_i) est “proche” du problème de Cauchy.

Le calcul de l’erreur locale de consistance nous donne

\begin{aligned} e_i &= E_i(x(t_i), x(t_{i+1})) = x(t_{i+1}) - x(t_i) - h_i \, \Phi(t_i, x(t_i), h_i) \\[0.5em] &= \int_{t_i}^{t_{i+1}} f(t, x(t)) \, \mathrm{d} t - h_i \, \Phi(t_i, x(t_i), h_i). \end{aligned}

Dans le cas de la méthode d’Euler nous avons l’illustration suivante :

où la tangente est donnée par

T(t) \coloneqq x(t_0) + (t-t_0)\, x'(t_0) = x(t_0) + (t-t_0)\, f(t_0, x(t_0)).

La première notion que nous introduisons pour pouvoir parler plus tard de convergence, porte sur la somme des erreurs locales de consistance. Cette accumulation d’erreurs est purement théorique puisque l’on ne tient pas compte de la solution approchée mais seulement de la solution exacte.

Définition

On dit qu’une méthode à un pas est consistante si

\sum_{i=0}^{N-1} \Vert e_i\Vert \to 0 \quad \text{quand} \quad h_{\max} = \max_i h_i \to 0.

Remarque

Il est important de noter que les instants t_i et le nombre de pas dépendent directement du vecteur de discrétisation {(h_i)}_{i}.

Condition Nécessaire et Suffisante

Nous avons le résultat suivant.

Proposition

Une méthode à un pas explicite est consistante si et seulement si

\forall\, (t, x) \in [t_0, t_f] \times \mathbb{R}^n, \quad \Phi(t, x, h)|_{h=0} = f(t, x).

Corollaire

Les méthodes de Runge-Kutta explicites sont consistantes si et seulement si

\sum_{i=1}^s b_i = 1.

Ordre de Consistance

Pour évaluer l’erreur de consistance à l’indice i, le paramètre important est le pas h_i. On fixe les autres paramètres et on regarde comment se comporte l’erreur en fonction du pas. Nous aurons besoin de la notation de Landau. Rappelons que la notation de Landau e(h) = O\mathopen{}\left({h^p}\right) signifie qu’il existe un voisinage U de 0 et une constante positive C telle que pour tout h \in U, \lVert e(h)\rVert \le C \lvert h\rvert^p.

Définition

Si l’erreur locale de consistance vérifie pour p \ge 1 :

E_i(h) \coloneqq E_i(x(t_i), x(t_i + h)) = x(t_i + h) - x(t_i) - h \, \Phi(t_i, x(t_i), h) = O\mathopen{}\left({h^{p+1}}\right),

on dit que le schéma est d’ordre p. On parle de l’ordre de consistance du schéma.

Si nous avions défini E_i comme étant donnée par

\frac{x_{i+1}-x_i}{h_i} - \Phi(t_i, x_i, h_i),

nous aurions eu E_i(h) = O\mathopen{}\left(h^p\right). L’ordre de consistance est bien p ce qui se verra mieux par la suite car l’ordre de convergence sera donné par l’ordre de consistance dans le cas où la méthode est consistante et stable.

Remarque

Une méthode d’ordre de consistance p \ge 1 est consistante.

Remarque

L’ordre de consistance ne dépend pas de l’indice i. Ainsi, on peut se restreindre au premier pas. Dans ce cas, on note

E(h) = x(t_0 + h) - x(t_0) - h \, \Phi(t_0, x(t_0), h).

Exemples et Exercices

Le schéma d’Euler explicite est d’ordre p=1 car, par définition de la dérivée, on a

\begin{aligned} E(h) &= x(t_0 + h) - x(t_0) - h \, \Phi(t_0, x(t_0), h) \\ &= x'(t_0)\, h + O\mathopen{}\left(h^2\right) - h \, f(t_0, x(t_0)) \\ &= h\, f(t_0, x(t_0)) - h \, f(t_0, x(t_0)) + O\mathopen{}\left(h^2\right) \\ &= O\mathopen{}\left(h^2\right). \end{aligned}

Nous allons dans l’exercice suivant étudier les relations que doivent vérifier les coefficients a_{ij}, b_i et c_i pour qu’un schéma de Runge-Kutta explicite à 2 étages soit d’ordre 2.

Question

Soit le schéma de Runge-Kutta

\begin{aligned} k_1 &= f(t_i, x_i) \\ k_2 &= f(t_i + c_2 h_i, x_i + a_{21} h_i k_1) \\ x_{i+1} &= x_i + h_i\, (b_1 k_1 + b_2 k_2). \end{aligned}

Retrouver que c_2 = a_{21} et donner les 2 relations que doivent vérifier b_1, b_2 et a_{21} pour que le schéma soit d’ordre 2. En déduire que la méthode de Runge est d’ordre 2.

Correction

Dans ce cas, nous avons

E(h) = x(t_0 + h) - x(t_0) - h \, \Phi(t_0, x(t_0), h)

avec

\Phi(t_0, x(t_0), h) = b_1 k_1 + b_2 k_2(h), \quad k_2(h) = f(t_0 + c_2 h, x(t_0) + a_{21} h k_1).

Développons E(h) à l’ordre 2 et voyons les conditions à vérifier pour avoir E(h) = O\mathopen{}\left(h^3\right). Dans un premier temps, nous avons

x(t_0 + h) - x(t_0) = hx'(t_0) + \frac{h^2}{2} x''(t_0) + O\mathopen{}\left(h^3\right)

et puisque x'(t) = f(t, x(t)), alors

x''(t) = \dfrac{\partial f}{\partial t}(t, x(t)) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(t, x(t)) \, x'(t) = \dfrac{\partial f}{\partial t}(t, x(t)) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(t, x(t)) \, f(t, x(t))

donc

x(t_0 + h) - x(t_0) = h f(t_0, x(t_0)) + \frac{h^2}{2} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t}(t_0, x(t_0)) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(t_0, x(t_0)) \, f(t_0, x(t_0)) \right) + O\mathopen{}\left(h^3\right).

D’un autre côté, nous avons

k_2(h) = f(t_0, x(t_0)) + h\, f'(t_0, x(t_0)) \cdot (c_2, a_{21} k_1) + O\mathopen{}\left(h^2\right).

Au final, nous obtenons

\begin{aligned} E(h) &= h f(t_0, x(t_0)) + \frac{h^2}{2} \left( \dfrac{\partial f}{\partial t}(t_0, x(t_0)) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(t_0, x(t_0)) \, f(t_0, x(t_0)) \right) \\[0.5em] & \quad - h \left( b_1 f(t_0, x(t_0)) + b_2 f(t_0, x(t_0)) + b_2 h\, f'(t_0, x(t_0)) \cdot (c_2, a_{21} k_1) \right) + O\mathopen{}\left(h^3\right) \\[0.5em] &= h (1-b_1-b_2) f(t_0, x(t_0)) \\[0.5em] &\quad + \frac{h^2}{2} (1 - 2 b_2 c_2) \dfrac{\partial f}{\partial t}(t_0, x(t_0)) + \frac{h^2}{2} (1 - 2 b_2 a_{21}) \dfrac{\partial f}{\partial x}(t_0, x(t_0))\, f(t_0, x(t_0)) + O\mathopen{}\left(h^3\right). \end{aligned}

Ainsi, pour que E(h) = O\mathopen{}\left(h^3\right) il faut avoir c_2 = a_{21} et

1 = b_1 + b_2 \quad \text{et} \quad b_2 a_{21} = \frac{1}{2}.

La méthode de Runge correspond à c_2 = a_{21} = 1/2, b_1 = 0 et b_2 = 1 donc les conditions sont vérifiées et la méthode est bien d’ordre 2.

Proposition

Les méthodes de Heun et Rk4 sont respectivement d’ordre 3 et 4.

Preuve

Voir le livre “Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problem”¹ pour les démonstrations.

Question

On considère le schéma de Runge-Kutta à 3 étages

\begin{array}{c | c c c} 0 & & & \\[0.1em] c_2 & a_{21} & & \\[0.1em] c_3 & a_{31} & a_{32} & \\[0.1em] \hline & b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{array} \quad \text{avec} \quad c_i = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}.

Démontrer dans le cas d’un système autonome que les relations que doivent vérifier les coefficients pour avoir un schéma d’ordre 3 sont

\begin{aligned} 1 &= b_1 + b_2 + b_3, \\[0.5em] \frac{1}{2} &= b_2\, a_{21} + b_3\, a_{31} + b_3\, a_{32}, \\[0.5em] \frac{1}{3} &= b_2\, a_{21}^2 + b_3\, \left( a_{31}^2 + 2\, a_{31}\, a_{32} + a_{32}^3 \right), \\[0.5em] \frac{1}{6} &= b_3\, a_{32}\, a_{21}. \end{aligned}

Question

On considère une méthode de Runge-Kutta explicite à s étages.

1. Appliquer un pas de la méthode à l’équation x'(t)=x(t), pour la condition initiale x(0)=1, et montrer que x_1 est un polynôme en h au plus de degré s.
2. En déduire que l’ordre p de la méthode est au plus égale à s.

Footnotes

1. E. Hairer, S. P. Nørsett & G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, vol 8 of Springer Serie in Computational Mathematics, Springer-Verlag, second edn (1993).