Solution du Problème de Cauchy Linéaire

Cas Homogène

Considérons le problème de Cauchy linéaire homogène suivant :

x'(t) = A x(t), \quad x(0) = x_0

où A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est une matrice constante et x_0 \in \mathbb{R}^n est le vecteur d’état initial.

Théorème

La solution du problème de Cauchy linéaire homogène est donnée par :

t \mapsto e^{tA} x_0

avec t \in \mathbb{R}.

Existence. Montrons que \varphi(t) \coloneqq e^{tA} x_0 vérifie les propriétés d’une solution pour le problème de Cauchy.

  • Vérification de la condition initiale. À t = 0, nous avons : \varphi(0) = e^{0 A} x_0 = I_n x_0 = x_0. Donc, la condition initiale est satisfaite.

  • Vérification de l’équation différentielle. Calculons la dérivée de \varphi(t) par rapport à t : \varphi'(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (e^{tA} x_0) = A e^{tA} x_0 = A \varphi(t). Donc, \varphi(t) satisfait l’équation différentielle x'(t) = A x(t).

Ainsi, \varphi(t) = e^{tA} x_0 est bien une solution du problème de Cauchy, ce qui prouve l’existence.

Unicité. Supposons qu’il existe une autre solution y(t) du problème de Cauchy. Définissons z(t) = y(t) - \varphi(t). Alors,

z'(t) = y'(t) - \varphi'(t) = A y(t) - A \varphi(t) = A (y(t) - \varphi(t)) = A z(t),

avec la condition initiale z(0) = y(0) - \varphi(0) = x_0 - x_0 = 0.

Considérons maintenant le changement de variable w(t) = e^{-tA} z(t). Alors,

w'(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (e^{-tA} z(t)) = -A e^{-tA} z(t) + e^{-tA} z'(t) = -A w(t) + e^{-tA} A z(t) = 0.

Puisque w'(t) = 0, w(t) est constante (d’après le TAF). Donc, w(t) = w(0) = e^{-0 A} z(0) = 0.

Ainsi, z(t) = e^{tA} w(t) = 0 pour tout t, ce qui implique que y(t) = \varphi(t). Cela prouve l’unicité de la solution.

Cas Non Homogène

Considérons maintenant le problème de Cauchy linéaire non homogène :

x'(t) = A x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0,

où A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est une matrice constante et t \mapsto b(t) \in \mathbb{R}^n est définie et continue sur un intervalle ouvert \mathcal{I} contenant t_0.

Hypothèse

Nous supposons acquis l’existence d’une unique solution globale.

Théorème

La solution du problème de Cauchy linéaire non homogène est donnée par :

\varphi(t) \coloneqq e^{(t-t_0)A}\, x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{(t-s)A}\, b(s) \, ds

avec t \in \mathcal{I}.

Question

Vérifiez que \varphi(t) est une solution du problème de Cauchy linéaire non homogène.

Notons

\varphi(t) \coloneqq e^{(t-t_0)A}\, x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{(t-s)A}\, b(s) \, ds.

Puisque nous supposons l’existence d’une unique solution globale, il suffit de vérifier que la fonction \varphi(t) définie dans le théorème satisfait à la fois la condition initiale et l’équation différentielle. Pour retrouver son expression en s’appuyant sur la solution du cas homogène, on utilise la méthode de variation de la constante. Faisons-le.

Méthode de variation de la constante. Posons \varphi(t) = e^{(t-t_0)A} z(t) et déterminons z(t). Tout d’abord, \varphi(\cdot) doit vérifier la condition initiale :

\varphi(t_0) = e^{(t_0-t_0)A} z(t_0) = z(t_0) = x_0,

d’où z(t_0) = x_0.

Ensuite, \varphi(\cdot) doit satisfaire l’équation différentielle. En dérivant, on obtient :

\varphi'(t) = A \varphi(t) + e^{(t-t_0)A} z'(t).

Il faut donc choisir z(\cdot) de manière à ce que b(t) = e^{(t-t_0)A} z'(t), ce qui équivaut à z'(t) = e^{(t_0-t)A} b(t).

Enfin, en intégrant :

z(t) = x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t_0-s)A}\, b(s)\, \mathrm{d}s.

D’où l’expression finale :

\varphi(t) = e^{(t-t_0)A} z(t) = e^{(t-t_0)A} x_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A}\, b(s)\, \mathrm{d}s,

grâce à la propriété e^{(t-t_0)A} e^{(t_0-s)A} = e^{(t-s)A}.

Cas Particulier : b Constant

Si b est un vecteur constant (ne dépend pas du temps), nous pouvons nous ramener au cas linéaire homogène par un changement de variable. On fixe pour la suite t_0 = 0.

Posons z(t) = x(t) - x_p(t), où x_p(t) est une solution particulière de l’équation x'(t) = A x(t) + b. En substituant x(t) = z(t) + x_p(t) dans l’équation originale, nous obtenons :

z'(t) + x'_p(t) = A(z(t) + x_p(t)) + b.

Puisque x_p(t) est une solution particulière, x'_p(t) = A x_p(t) + b. Donc,

z'(t) = A z(t).

Ainsi, z(t) satisfait une équation différentielle linéaire homogène. La solution de z'(t) = A z(t) avec la condition initiale z(0) = x_0 - x_p(0) est donnée par :

z(t) = e^{tA} (x_0 - x_p(0)).

En revenant à la variable originale, nous avons :

x(t) = z(t) + x_p(t) = e^{tA} (x_0 - x_p(0)) + x_p(t).

Ce changement de variable permet de ramener le problème linéaire non homogène à un problème linéaire homogène, facilitant ainsi sa résolution.

Remarque

Si b appartient à l’image de A, c’est-à-dire s’il existe un vecteur x_e tel que A x_e = -b, alors nous pouvons choisir x_p(t) = x_e. En effet, dans ce cas, x_e est une solution particulière constante de l’équation x'(t) = A x(t) + b, car :

A x_e + b = -b + b = 0

Ainsi, x_p(t) = x_e est une solution particulière constante, simplifiant encore le changement de variable et nous obtenons

x(t) = e^{tA} (x_0 - x_e) + x_e.

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