Méthodes de Runge-Kutta

Définition

Dans la section précédente, nous avons introduit les méthodes explicites à un pas et nous avons donné deux exemples, la méthode d’Euler et la méthode de Runge. De manière générale, nous définissons les méthodes explicites à un pas suivantes, appelées méthodes de Runge-Kutta explicites.

Définition

On appelle méthode de Runge-Kutta explicite à s étages, la méthode définie par le schéma

\begin{aligned} k_1 &= f(t_i, x_i) \\ k_2 &= f(t_i + c_2 h_i, x_i + h_i a_{21} k_1) \\ \vdots & \\[-1em] k_s &= f(t_i + c_s h_i, x_i + h_i \sum_{j=1}^{s-1} a_{sj} k_j) \\ x_{i+1} &= x_i + h_i \sum_{i=1}^{s} b_i k_i, \end{aligned}

où les coefficients c_i, a_{ij} et b_i sont des constantes qui définissent précisément le schéma.

On supposera toujours dans la suite que c_1 = 0 et c_i = \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}, pour i = 2, \ldots, s.

On représente en pratique ce schéma par le tableau de Butcher suivant.

\begin{array}{c | c c c c c} % chktex 44 c_1 & & & & & \\[0.1em] c_2 & a_{21} & & & & \\[0.1em] c_3 & a_{31} & a_{32} & & & \\[0.1em] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \\[0.1em] c_s & a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{ss-1} & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & b_1 & b_2 & \cdots & b_{s-1} & b_s \\ \end{array}

Exemples

Voici une liste d’exemples de schémas de Runge-Kutta explicites.

  • Euler (ordre 1) \begin{array}{c | c} % chktex 44 0 & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & 1 \\ \end{array}

  • Runge (ordre 2) \begin{array}{c | c c} % chktex 44 0 & & \\[0.1em] 1/2 & 1/2 & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & 0 & 1 \\ \end{array}

  • Heun (ordre 3) \begin{array}{c | c c c} % chktex 44 0 & & & \\[0.1em] 1/3 & 1/3 & & \\[0.1em] 2/3 & 0 & 2/3 & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & 1/4 & 0 & 3/4 \\ \end{array}

  • Rk4 (ordre 4) \begin{array}{c | c c c c} % chktex 44 0 & & & & \\[0.1em] 1/2 & 1/2 & & & \\[0.1em] 1/2 & 0 & 1/2 & & \\[0.1em] 1 & 0 & 0 & 1 & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & 1/6 & 2/6 & 2/6 & 1/6 \\ \end{array}

  • Rk4, règle 3/8 (ordre 4) \begin{array}{c | c c c c} % chktex 44 0 & & & & \\[0.1em] 1/3 & 1/3 & & & \\[0.1em] 2/3 & -1/3 & 1 & & \\[0.1em] 1 & 1 & -1 & 1 & \\[0.1em] \hline % chktex 44 \rule{0pt}{2.6ex} & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8 \\ \end{array}

Remarque

Dans les schémas ci-dessus, nous avons indiqué l’ordre de la méthode. Celle-ci est définie par la suite.

Exercice

Question

On considère le schéma de Heun donné ci-dessus. Écrire le schéma de Runge-Kutta correspondant et donner explicitement l’application \Phi(t, x, h).

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