Introduction
Équations Différentielles d’Ordre 1 Scalaire
Considérons pour commencer une équation différentielle ordinaire (EDO) d’ordre 1, scalaire, autonome et linéaire (homogène) :
x'(t) = a x(t)
où :
- t \in \mathbb{R} est le “temps”. C’est la variable d’intégration.
- t \mapsto x(t) \in \mathbb{R} est la fonction inconnue que nous cherchons à déterminer. Elle représente l’état du système à l’instant t.
- t \mapsto x'(t) est la dérivée de t \mapsto x(t) par rapport au temps t.
- a \in \mathbb{R} est un paramètre constant.
Donnons des explications sur la terminologie employée.
- Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP).
- Dans ce cas, l’équation différentielle est scalaire car elle ne fait intervenir qu’une seule fonction inconnue t \mapsto x(t) \in \mathbb{R}.
- Elle est autonome car elle ne dépend pas explicitement du temps t.
- Enfin, elle est linéaire (homogène) car elle est linéaire en x(t).
- Elle est d’ordre 1 car elle ne fait intervenir que la dérivée première de x notée x'(t), ou \dot{x}(t) à la physicienne.
Condition Initiale et Problème de Cauchy
L’équation différentielle x'(t) = a x(t) possède une infinité de solutions. Nous n’allons pas chercher l’ensemble des solutions, mais une solution particulière qui satisfait une condition initiale :
x(0) = x_0.
Le couple formé par l’équation différentielle et la condition initiale constitue un problème de Cauchy. La solution de ce problème est une fonction t \mapsto x(t) qui satisfait à la fois l’équation différentielle et la condition initiale.
Lien avec la Formulation Intégrale
Le problème de Cauchy peut également être formulé sous la forme intégrale suivante :
x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} a x(s) \, \mathrm{d}s.
Cette formulation intégrale est équivalente à la formulation différentielle. Il est important de retenir que même cette formulation réprésente une équation à résoudre dont l’inconnue est la fonction x(\cdot).
Espace des Solutions
Pour une équation différentielle, comme pour toute équation, il est crucial de définir l’espace dans lequel nous cherchons les solutions. Ici, nous cherchons une fonction x(\cdot) qui est :
- Dérivable
- Définie sur un intervalle de temps ouvert contenant 0 (car la condition initiale est donnée en t = 0).
Équation Différentielle d’Ordre 2 Scalaire
Considérons maintenant une équation différentielle d’ordre 2 :
x''(t) = -x(t)
où x''(t) représente la dérivée seconde de x(\cdot) au temps t. Cette équation est d’ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde de x(\cdot). Elle est scalaire car elle ne fait intervenir qu’une seule fonction inconnue x(\cdot).
Pour ramener cette équation à un système d’ordre 1, nous introduisons une nouvelle variable y(t) = x'(t). Ainsi, nous obtenons le système suivant :
\begin{cases} x'(t) = y(t), \\ y'(t) = -x(t). \end{cases}
Ce système est équivalent à l’équation d’ordre 2 initiale et peut être résolu en utilisant les techniques d’ordre 1. Par la suite, nous ne considérons que des équations d’ordre 1, scalaires ou vectorielles. L’équation précédente, dans les coordonnées (x, y), est une équation différentielle ordinaire d’ordre 1 linéaire, autonome et vectorielle. Elle peut s’écrire sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}.
Exemple
Considérons un point matériel soumis à la gravitation, où l’équation différentielle est donnée par :
x''(t) = g
où g est l’accélération due à la gravité. Cette équation est d’ordre 2 et scalaire.
Pour ramener cette équation à un système d’ordre 1, nous introduisons une nouvelle variable v(t) = x'(t), représentant la vitesse du point matériel. Ainsi, nous obtenons le système suivant :
\begin{cases} x'(t) = v(t), \\ v'(t) = g. \end{cases}
Ce système est équivalent à l’équation d’ordre 2 initiale et peut être résolu en utilisant les techniques d’ordre 1. Le système peut s’écrire sous forme matricielle :
\begin{pmatrix} x'(t) \\ v'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ v(t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ g \end{pmatrix}
Cet exemple illustre comment une équation différentielle d’ordre 2 peut être transformée en un système d’ordre 1 pour faciliter sa résolution.
Équations Différentielles d’Ordre 1 Vectorielle
Considérons maintenant une équation différentielle ordinaire d’ordre 1 linéaire non homogène :
x'(t) = A x(t) + b(t)
où A est une matrice constante de taille n \times n et b(t) est un vecteur de taille n dépendant du temps t.
Cette équation n’est pas autonome car elle dépend explicitement du temps t à travers b(t). Cette équation est affine en x(t), car elle contient un terme linéaire A x(t) et un terme constant b(t). Nous parlerons d’équation différentielle linéaire non homogène. C’est une équation d’ordre 1 car elle ne fait intervenir que la dérivée première de x(t), mais c’est une équation vectorielle car x(t) est un vecteur de taille n.
Pour mieux comprendre que le temps t intervient explicitement seulement dans b(t), nous pouvons réécrire l’équation à l’aide d’une fonction f (appelée second membre) dépendant du temps t et de la variable x :
x'(t) = f(t, x(t))
où f est une fonction de \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^n définie par
f(t, x) = A x + b(t).
Importance des Équations Différentielles
Les équations différentielles sont fondamentales dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Elles permettent de modéliser des systèmes dynamiques et de prédire leur comportement futur. Par exemple :
- En physique, elles décrivent le mouvement des objets.
- En biologie, elles modélisent la croissance des populations.
- En économie, elles analysent les fluctuations du marché.
En maîtrisant les concepts et les techniques de résolution des équations différentielles, nous pouvons mieux comprendre et prédire le comportement de ces systèmes complexes.
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