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Cas Non Homogène

On considère le problème de Cauchy (vectoriel) linéaire

x'(t) = A(\theta) x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0

avec \theta \in \R (ici l=1 pour simplifier), et dont la solution, notée x(\cdot, \theta), est

x(t, \theta) \coloneqq e^{(t-t_0)A(\theta)}\, x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{(t-s)A(\theta)}\, b(s) \, ds.

La dérivée partielle par rapport à \theta est plus difficile à obtenir quand la matrice A dépend du paramètre, par comparaison au cas où seulement la condition initiale dépend du paramètre. En effet, dans cette nouvelle situation, nous devons dériver l’application

A \mapsto e^A

ce qui n’est pas aussi simple qu’il n’y parait. Nous allons donc procéder autrement pour trouver cette dérivée partielle. Lorsque nous avons dérivé par rapport à la condition initiale, nous avons remarqué que la dérivée était elle-même solution d’un problème de Cauchy. Profitons de cela et utilisons la formulation intégrale. La fonction x(t, \theta) vérifie

x(t, \theta) = x_0 + \int_{t_0}^{t} \left( A(\theta)\, x(s, \theta) + b(s) \right) \, \mathrm{d}s.

En dérivant les termes de gauche et de droite, leurs dérivées étant égales, nous obtenons

\frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) = \int_{t_0}^{t} \left( A(\theta)\, \frac{\partial x}{\partial \theta}(s, \theta) + A'(\theta)\, x(s, \theta) \right) \, \mathrm{d}s.

Autrement dit, la fonction t \mapsto \frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) est solution du problème de Cauchy

X'(t) = A(\theta)\, X(t) + A'(\theta)\, x(t, \theta), \quad X(t_0) = 0_{\R^n},

qui n’est rien d’autre qu’un problème de Cauchy linéaire non homogène de la forme

X'(t) = A(\theta)\, X(t) + d_\theta(t), \quad x(t_0) = 0_{\R^n},

où l’on a introduit d_\theta(t) \coloneqq A'(\theta)\, x(t, \theta).

Cas Homogène

Dans le cas où b(t) = 0, en fixant t_0=0, la solution est

x(t, \theta) = e^{tA(\theta)}\, x_0

et pour calculer \frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta), nous sommes amené à résoudre

X'(t) = A(\theta)\, X(t) + A'(\theta)\, e^{tA(\theta)}\, x_0, \quad X(0) = 0_{\R^n}.

La solution est donnée par

\frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) = \int_{t_0}^{t} \left( e^{(t-s)A(\theta)} A'(\theta)\, e^{sA(\theta)}\, x_0 \right) \, \mathrm{d}s

et si [A'(\theta), A(\theta)] = A'(\theta) A(\theta) - A(\theta) A'(\theta) = 0_n alors cette expression se réduit à

\frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta) = t A'(\theta)\, e^{tA(\theta)}\, x_0.