Stabilité

Définition

La stabilité consiste à comparer la solution du schéma avec celle du même schéma auquel on ajoute une perturbation. Si la borne des erreurs (en norme) sur l’ensemble des points de discrétisation entre les deux solutions ne dépend que des perturbations et non pas de la subdivision, c’est-à-dire du vecteur de pas, alors on dira que la méthode est stable. En effet, pour une méthode stable de petites perturbations mènent à de petites erreurs.

Définition

On dit qu’une méthode à un pas explicite est stable si il existe une constante S positive indépendante de {(h_i)}_i telle que pour toutes suites sur \llbracket 0\,,\, N-1 \rrbracket :

\begin{aligned} x_{i+1} &= x_i + h_i\, \Phi(t_i, x_i, h_i) \\ y_{i+1} &= y_i + h_i\, \Phi(t_i, y_i, h_i) + \varepsilon_i, \end{aligned}

on ait

\max_{0 \le i \le N}\, \lVert x_i - y_i\rVert \le S \left( \lVert x_0 - y_0\rVert +~\sum_{i=0}^{N-1} \lVert\varepsilon_i\rVert \right).

Condition Suffisante de Stabilité

Question

Montrer que la méthode d’Euler est stable si la fonction f est de classe \mathscr{C}^{1} et globalement lipschitzienne par rapport à la variable x. On supposera pour simplifier que le pas d’intégration est uniforme, c’est-à-dire que h_i = h pour tout i.

Soit {(x_i)}_i et {(y_i)}_i des solutions de

\begin{aligned} x_{i+1} &= x_i + h_i\, f(t_i, x_i) \\[0.5em] y_{i+1} &= y_i + h_i\, f(t_i, y_i) + \varepsilon_i. \end{aligned}

Puisque f est \mathscr{C}^{1}, elle est localement lipschitzienne et puisque t appartient à un intervalle compact, on peut trouver une constante de Lipschitz indépendante du temps. La fonction f étant globalement lipschitzienne par rapport à la variable x, on peut donc trouver une constante de Lipschitz indépendante aussi de x. On note L cette constante. Ainsi, on a :

\begin{aligned} \lVert x_{i+1} - y_{i+1}\rVert &\le \lVert x_i - y_i\rVert + h_i \, \lVert f(t_i, x_i) - f(t_i, y_i)\rVert + \lVert\varepsilon_i\rVert\\[0.5em] &\le (1 + h_i L)\, \lVert x_i - y_i\rVert + \lVert\varepsilon_i\rVert. \end{aligned}

Puisque h_i = h pour tout i, on arrive à montrer que

\lVert x_{i+1} - y_{i+1}\rVert \le {(1 + h\, L)}^N \left( \lVert x_0-y_0\rVert + \sum_{i=0}^{N-1} \lVert e_i\rVert \right).

Puisque notamment pour tout x \ge 0, on a 1+x \le e^x, il vient que

{(1 + h\, L)}^N \le e^{hLN} = e^{(t_f-t_0)\, L} \quad \text{car} \quad N = \frac{t_f-t_0}{h},

et donc pour tout i \in \llbracket 0\,,\, N-1 \rrbracket, on a

\lVert x_{i} - y_{i}\rVert \le e^{(t_f-t_0)\, L} \left( \lVert x_0-y_0\rVert + \sum_{i=0}^{N-1} \lVert e_i\rVert \right)

ce qui montre la stabilité de la méthode d’Euler en passant au max.

Dans l’exercice précédent, la stabilité de la méthode d’Euler découle du fait que f est globalement lipschitzienne par rapport à la variable x de manière uniforme sur [t_0, t_f]. De manière générale, on a le résultat suivant.

Proposition

Pour que la méthode à un pas explicite soit stable il suffit que \Phi soit \mathscr{C}^{1} et globalement lipschitzienne par rapport à la variable x.

Supposons \Phi de classe \mathscr{C}^{1} et globalement lipschitzienne par rapport à la variable x. Alors, il existe K \ge 0 telle que :

\lVert\Phi(t, x, h) - \Phi(t, y, h)\rVert \le K \lVert x - y\rVert,

pour tout t\in [t_0, t_f], 0 \le h \le t_f-t_0 et (x, y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n. On peut alors prendre comme constante de stabilité

S = e^{K(t_f-t_0)}.

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