Introduction
On considère le problème de Cauchy (vectoriel) linéaire
x'(t) = A x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0
dont la solution, notée x(\cdot, A, x_0) pour faire apparaitre la dépendance en la matrice A et la condition initiale x_0, est
x(t, A, x_0) \coloneqq e^{(t-t_0)A}\, x_0 + \int_{t_0}^{t} e^{(t-s)A}\, b(s) \, ds
d’après le théorème dans le cas non homogène. Dans la suite de ce cours, nous nous intéressons aux dérivées partielles :
\frac{\partial x}{\partial x_0}(t, A, x_0) \quad \text{et} \quad \frac{\partial x}{\partial A}(t, A, x_0).
Plus précisément, si la matrice A et la condition initiale dépendent de paramètres \theta \in \R^l, on pourra noter x(\cdot, \theta) la solution du problème de Cauchy
x'(t) = A(\theta) x(t) + b(t), \quad x(t_0) = x_0(\theta)
et on cherchera à calculer
\frac{\partial x}{\partial \theta}(t, \theta).
Dans tous les cas, nous avons besoin des dérivées partielles de la solution du problème de Cauchy par rapport à la matrice A et la condition initiale x_0.
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